此博客为麻省理工学院公开课《微分方程》课程的复习笔记和博主个人的理解。

ODE 的几何解法： 方向场、积分曲线

假设有微分方程： \begin{equation} f^\prime(x) = g(x, f(x)) \label{eq:ode_defin} \end{equation} 对于函数 $f(x)$ , 我们已经知道其导函数 $f^\prime(x)$ 的几何意义为函数上每一点的切线的斜率。 对于微分方程\eqref{eq:ode_defin}， 我们可以从中直观了解到的信息为函数 $f(x)$ 的斜率满足一个函数 $g(x, f(x))$ ， 但是对于这个函数 $f(x)$ 的解析表达式是不能直观看出来的， 但是我们可以肯定的是假如我们画出这个函数的曲线， 那么在曲线上的任意点 $(x_0, y_0)$ 上的切线的斜率肯定是 $g(x_0, y_0)$ 。 但是现在我们并不知道函数的具体曲线是什么， 但是有一点我们非常清楚， 那就是任意点的斜率我们都知道， 所以可以将平面中每一点的斜率都计算出来， 然后画出一个斜率图：

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